I due termini seguenti sono algebricamente equivalenti.
Qual è il "migliore"? Ossia quale produce risultati con più cifre significative?
Prova con x = 1, 12, 123, 1234, ...
x = Metti un valore e
1/(√(x2+1) + x) =
      √(x2+1) − x =
Cerca di interpretare il fenomeno.

Indichiamo con T1 e T2 i due termini √(x2+1)-x e 1/(√(x2+1)+x). Alcune possibili uscite: 

  x                    T1                         T2
 1234            0.0004051863193126337     0.00040518631921557805  
 12345           0.00004050222742080223    0.00004050222755607815 
 123456          0.000004050030838698149   0.000004050025920099458 
 1234567         4.048924893140793e-7      4.0500029565014935e-7 
 12345678        4.0978193283081054e-8     4.0500003321000205e-8 
 123456789       0                         4.050000036855001e-9
Man mano che aumento x, moltiplicando circa per 10, per un po' sia T1 che T2 si riducono, dividendosi circa per 10. Del resto, al crescere dell'ordine di grandezza di x il valore di x2+1 tende a coincidere per sempre più cifre significative con quello di x2, e quindi T2 tende a coincidere con 1/(2x), ossia a un termine inversamente proporzionale a x. Il fatto che da un certo punto in poi T1 si scosti da questo comportamento suggerisce che siano intervenuti errori di approssimazione tali da rendere non attendibili i valori visualizzati.

Posso studiare il fenomeno anche con un programma in Basic: vedi.

Se rappresentassi graficamente (ad es. con WolframAlpha) l'andamento dei due termini in funzione di x, per valori di x tra due successive potenze di 10, prima o poi assisterei ad un andamento simile al seguente, il quale confermerebbe che T2 (il termine che "scolasticamente" sarebbe considerato più brutto: molti libri scolastici lo fanno "razionalizzare" in T1), è quello migliore dal punto di vista del calcolo: le strane oscillazioni del grafico di T1 e il suo brutale spiaccicarsi sull'asse x corrispondono all'intervento degli errori di approssimazione. 

plot 1/(sqrt(x^2+1)+x) for 2e6 < x < 2e8
plot sqrt(x^2+1)-x for 2e6 < x < 2e8
I problemi per T1 nascono dal fatto che per x con ordine di grandezza grande √(x2+1) e x tendono ad assumere valori sempre più vicini per cui, da un certo punto in poi, interviene il fenomeno della cancellazione delle cifre.

Per altri commenti:   Calcolatore-6