In vari libro di testo per la scuola secondaria di primo grado si trovano esempi di questo genere:
La proporzione 1/3+5+3/5+1/15 : 4 = x : 5 si risolve con la regola
1/3+5+3/5+1/15 = 6, 6 : 4 = x : 5, 6·5 = 4·x,
Discuti la cosa.
Per capire la questione consideriamo un esempio di proporzione:
Secondo una ricetta gli ingredienti A e B devono essere in proporzione come 5 e 3. So che A=110 g. Quanto deve essere B?
Indichiamo con x il peso in grammi di B.
Occorre che il rapporto tra x e 110 sia uguale a quello tra 3 e 5; in formula:
x/110 = 3/5
Quindi deve essere x = 3/5*110 = 3/10*110*2 = 3*11*2 = 66
Una equazione come x/110 = 3/5, che abbia la forma di una eguaglianza tra rapporti, viene chiamata proporzione.
Un tempo invece che "/" si preferiva usare ":", notazione ormai praticamente abbandonata nell'uso matematico; i termini 110 e 3, che stanno "in mezzo", venivano chiamati medi, mentre x e 5 venivano chiamati estremi.
Per trovare la soluzione x si usava uno strano circolo vizioso: si osservava che affinché questa equazione sia vera occorre che 110·3 (prodotto dei medi) sia uguale a x·5 (prodotto degli estremi), si otteneva 110·3 = x·5, ovvero x·5 = 110·3, e poi si dividevano per 110 i due membri.
Questo procedimento, che le persone memorizzavano nella forma "prodotto dei medi = prodotto degli estremi", era stato messo a punto qualche secolo a.C., quando non erano stati ancora sviluppati il concetto più generale di equazione, i concetti di funzione, operazione inversa, …; è tuttavia un procedimento che si è mantenuto nella tradizione di molti insegnanti per molti anni, e che gli alunni memorizzavano senza comprenderlo e applicavano spesso a sproposito.
Finalmente nel 1979 nei programmi della scuola media inferiore si è precisato che «l'argomento "proporzioni" non deve essere appesantito imponendo, come nuove, regole che sono implicite nella proprietà delle operazioni aritmetiche, ma deve essere finalizzato alla scoperta delle leggi di proporzionalità».
Purtroppo molti insegnanti, per ignoranza della matematica e dei programmi, e molti libri di testo, per mala fede, hanno continuato (a decenni di distanza) a far usare questi procedimenti "magici".
Ovviamente un genitore può chiedere ad un insegnante che adotti libri di tal genere di non pretendere che il proprio figlio "usi" questo metodo risolutivo.
Nel caso dei libri citati nel quesito, oltre all'uso del procedimento astruso (peggiorato dal fatto che, indicando ":" una divisione, orrorrerebbe racchiudere 1/3+5+3/5+1/15 tra parentesi) c'è l'aggravante che si tratta di un quesito senza alcun possibile riferimento ad un problema reale o realistico da risolvere.