L'accelerazione costante di un'automobile in m/s² è s"(t) = 4, dove s(t) è la strada in metri che ha percorso dopo t secondi. Sappiamo che all'istante t=0 era ferma, nella posizione s=0.  Prova a determinare l'espressione della funzione t → s(t).

s"(t) = 4 significa per ogni t (≥0 nel nostro caso) la derivata di s'(t) è 4;  la derivata di una funzione rispetto a t è 4 se la funzione è  4·t+k  dove k è una costante qualunque;  dunque  s'(t) = 4·t+k;  la derivata di una funzione rispetto a t è  4·t+h  se la funzione è  4·t²/2+h·t+k  ovvero  2·t²+h·t+k
Dunque da s"(t) = 4 posso dedurre che  s(t) = 2·t²+h·t+k  dove h e k sono delle costanti qualunque.
Ma non sappiamo che s'(0)=0 e che s(0)=0.  Imponendo queste condizioni otteniamo:
4·0+h = 0  AND  4·0²/2+h·0+k = 0   ovvero:
h = 0   AND   k = 0.
Concludendo  s(t) = 2·t²

Possiamo verificare la soluzione con WolframAlpha:
s"(t) = 4, s'(0) = 0, s(0) = 0     →     s(t) = 2·t²

plot s(t) = 2*t^2, 0 < t < 2

Se avessimo imposto solamente  s"(t) = 4  avremmo avuto  s(t) = c₂t + c₁ + 2 t²
 

Per altri commenti: equazioni differenziali - 1 neGli Oggetti Matematici.