Cerca la voce "pendulum" in Wikipedia (versione inglese!). Cerca quindi di capire che cosa calcolano (e che cosa mettono in luce) i seguenti comandi.

k1=2/16; k2=11/3072; k3=173/737280; k4=22931/1321205760
T0=2π·√(L/g)
T2=2π·√( L/g·(1 + A²·k1) )
T6=2π·√( L/g·(1 + A²·k1 + A⁴·k2 + A⁶·k3) )
T8=2π·√( L/g·(1 + A²·k1 + A⁴·k2 + A⁶·k3 + A⁸·k4) )
L=1; g=9.81
A=5π/180; T0,T2,T4,T6 → 2.0060666807106475, 2.0070212705519523, 2.0070214788505636, 2.007021478850622
A=10π/180; T0,T2,T4,T6 → 2.0060666807106475, 2.0098823197937716, 2.0098856528047806, 2.009885652819742
A=20π/180; T0,T2,T4,T6 → 2.0060666807106475, 2.0212860201629224, 2.021339363733758, 2.021339367542074
A=45π/180; T0,T2,T4,T6 → 2.0060666807106475, 2.0819708498658502, 2.0833404189852507, 2.0833428459967154
A=60π/180; T0,T2,T4,T6 → 2.0060666807106475, 2.1391461750182286, 2.1434833311072437, 2.1435068935176314
A=90π/180; T0,T2,T4,T6 → 2.0060666807106475, 2.294667709362779, 2.3167678808594183, 2.31732652777369

Su Wikipedia trovo che:

I comandi precedenti calcolano, in maniera approssimata, il periodo di un pendolo semplice di lunghezza L metri, in assenza di attrito, con angolo iniziale A e accelerazione di gravità g m/s². Nei calcoli si fa riferimento a valori costanti di L (1) e di g (9.81).
Le espressioni T0, T2, T6 e T8 calcolano il periodo con man mano migliore precisione.
Aggiungendo ulteriori addendi (A¹⁰·k5, k5 = 1319183/951268147200, …) si otterrebbero migliori precisoni (teoriche: nella prassi c'è attrito, gli strumenti di misura hanno una loro precisione, …).

Si vede che, per oscillazioni molto piccole, la prima formula (T0) è una buona approssimazione, ma che per oscillazioni maggiori l'approssimazione peggiora. Il fenomeno, comunque, in assenza di attrito, è periodico, con periodo proporzionale a √(L/g) (con fattore di proporzionalità prossimo a 2π per piccole oscillazioni e leggermente maggiore al crescere delle oscillazioni).
L'idea che il pendolo ha tempo di oscillazione indipendente dalla ampiezza fu messa a punto da Galileo (circa nel 1580), che scoprì anche che il periodo dipendeva linearmente dalla radice quadrata della lunghezza del pendolo (vedi). Fu poi Huygens (circa nel 1670) a dimostrare il fatto che il pendolo ha periodo costante solo a partità dell'ampiezza delle oscillazioni (a lui si deve, sostanzialmente, anche la formula precedente). Gli orologi a pendolo operano solo con piccole oscillazioni e sono dotati di dispositivi per mantenerle grosso modo costanti.

Ecco come i calcoli potrebbero essere effettuati in JavaScript (ma, opportunamente modificati, sono eseguibili in qualunque linguaggio di programmazione)

k1=2/16; k2=11/3072; k3=173/737280; k4=22931/1321205760
function T0 (a,L,g) {return 2*Math.PI*Math.sqrt(L/g)}
function T2 (a,L,g) {return 2*Math.PI*Math.sqrt(L/g*(1+Math.pow(a,2)*k1))}
function T6 (a,L,g) {return 2*Math.PI*Math.sqrt(L/g*(1+Math.pow(a,2)*k1+Math.pow(a,4)*k2+Math.pow(a,6)*k3))}
function T8 (a,L,g) {return 2*Math.PI*Math.sqrt(L/g*(1+Math.pow(a,2)*k1+Math.pow(a,4)*k2+Math.pow(a,6)*k3+Math.pow(a,8)*k4))}
L=1; A=5*Math.PI/180; g=9.81
document.write(T0(A,L,g)," ",T2(A,L,g)," ",T6(A,L,g)," ",T8(A,L,g),"<br>")
A=10*Math.PI/180
document.write(T0(A,L,g)," ",T2(A,L,g)," ",T6(A,L,g)," ",T8(A,L,g),"<br>")
A=20*Math.PI/180
document.write(T0(A,L,g)," ",T2(A,L,g)," ",T6(A,L,g)," ",T8(A,L,g),"<br>")
A=45*Math.PI/180
document.write(T0(A,L,g)," ",T2(A,L,g)," ",T6(A,L,g)," ",T8(A,L,g),"<br>")
A=60*Math.PI/180
document.write(T0(A,L,g)," ",T2(A,L,g)," ",T6(A,L,g)," ",T8(A,L,g),"<br>")
A=90*Math.PI/180
document.write(T0(A,L,g)," ",T2(A,L,g)," ",T6(A,L,g)," ",T8(A,L,g),"<br>")
   uscite:
2.0060666807106475 2.0070212705519523 2.0070214788505636 2.007021478850622
2.0060666807106475 2.0098823197937716 2.0098856528047806 2.009885652819742
2.0060666807106475 2.0212860201629224 2.021339363733758 2.021339367542074
2.0060666807106475 2.0819708498658502 2.0833404189852507 2.0833428459967154
2.0060666807106475 2.1391461750182286 2.1434833311072437 2.1435068935176314
2.0060666807106475 2.294667709362779 2.3167678808594183 2.31732652777369

		Su Wikipedia trovo che:
		I comandi precedenti calcolano, in maniera approssimata, il periodo di un pendolo semplice di lunghezza L metri, in assenza di attrito, con angolo iniziale A e accelerazione di gravità g m/s². Nei calcoli si fa riferimento a valori costanti di L (1) e di g (9.81). Le espressioni T0, T2, T6 e T8 calcolano il periodo con man mano migliore precisione. Aggiungendo ulteriori addendi (A¹⁰·k5, k5 = 1319183/951268147200, …) si otterrebbero migliori precisoni (teoriche: nella prassi c'è attrito, gli strumenti di misura hanno una loro precisione, …).