Ho ipotizzato che un oggetto, quando viene collocato in un ambiente che ha una temperatura costante diversa dalla sua temperatura iniziale, tenda ad assumere la temperatura dell'ambiente con una rapidità di variazione che, istante per istante, si mantiene proporzionale alla differenza tra la temperatura dell'ambiente e la temperatura che esso ha in quell'istante. Per fare una verifica di questa ipotesi ho messo un termometro da forno in un forno, ho riscaldato il forno e, quando questo si è stabilizzato sulla temperatura di 145°C, ho estratto il termometro e l'ho collocato in un ambiente con temperatura di 20°C.  Successivamente ho letto la temperatura del termometro (sul termometro stesso) ogni 30 s.  Il grafico a lato (che qui puoi vedere ingrandito) riporta gli esiti dei miei rilevamenti (in ascissa il tempo trascorso, in ordinata il salto tra temperatura ambiente e temperatura del termometro). Ecco i valori delle temperature:   125, 112, 100, 90, 78, 68, 59, 51, 46, 40, 35, 31, 29, 25, 22, 21, 18, 16, 14, 12, 11, 10, 10, 9, 8, 7, 6, 6, 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0 I valori delle temperature non sono esatti.  Tenendo conto della graduazione del termometro le temperature indicate sono da intendere con la precisione di 2°; ossia ad esempio la prima temperatura è da interpretare come 125°±2°.  I valori "0" finali sono da intendere come 0°±2°, o, meglio, come l'intervallo [2°, 0°]. (1)  Gli esiti confermano la mia ipotesi?  (2) Descrivi mediante una formula matematica una funzione che approssimi l'andamento.  (3) La funzione che dovresti aver trovato ha il grafico che tende a spiaccicarsi sull'asse orizzontale, ma non lo raggiunge mai. Vuol dire che l'oggetto non raggiungerà mai la temperatura ambiente?

Ecco il grafico   ingrandito:

(1)  Possiamo, ad es., vedere se si mantiene costante il tempo di dimezzamento. Su vari esempi - vedi figura sotto a sinistra - si vede che questo è sempre di circa 2 minuti e 3/4.

In alternativa possiamo osservare che il fatto che la velocità di variazione della temperatura abbia una relazione di tipo lineare con la temperatura ci fa concludere che la temperatura ha un andamento di tipo esponenziale rispetto al tempo. Possiamo precisare questa cosa analizzando i logaritmi delle temperature. Possiamo farlo usando il computer, ottenendo il grafico soprastante a destra, in cui abbiamo tracciato anche una retta che approssima i punti (esclusi gli ultimi, corrispondenti a valori bassi per i quali la precisione relativa è peggiore).

(2)  Il grafico rettilineo ottenuto sopra è della funzione x → log(125)-0.24*x.  Ritorno al sistema di riferimento iniziale trovando la funzione inversa: x → 125*exp(-0.24*x)

(3)  Tale funzione (x → 125*exp(-0.24*x)) ha grafico che non arriva a toccare l'asse x, mentre la temperatura dell'oggetto prima o poi si stabilizza sul valore della tempeartura ambiente.  Questa differenza non deve stupire: la funzione è un modello matematico che approssima il fenomeno reale, ma non coincide con esso. In particolare la temperatura di un corpo o di un ambiente a rigore non è rappresentabile esattamente con un numero reale: essa, infatti, corrisponde alla energia cinetica media della particelle, che fluttua, pur se con piccole oscillazioni, attorno ad un certo valore: l'oggetto raggiunge la temperatura ambientale quando le fluttuazioni della sua temperatura si interecano con quelle della temperatura dell'ambiente.
Per altro, questo modello rappresenta il fenomeno nell'ipotesi che anche nelle vicinanze dell'oggetto la temperatura sia quella ambientale mentre in realtà, se l'ambiente non è un po' ventilato, attorno al corpo si registra una temperatura leggermente maggiore, per cui, specie quando temperatura dell'oggetto e dell'ambiente sono molto vicine, il salto della temperatura effettivo ha una discerta differenza percentuale dal salto riferito alla temperatura ambientale "ufficiale"]