Determina il baricentro di una piastra di materiale omogeneo, di spessore costante, che ha la forma di un quarto di cerchio.

Disponiamo un quarto di cerchio di raggio 1 nel modo illustrato a lato. Per simmetria, la ordinta del baricentro coincide con la sua ascissa x. Determiniamola. Il baricentro B è il punto in cui possiamo pensare concentrata tutta la massa per lo studio degli effetti rotatori. Quindi il momento rispetto a (0,0) di una massa concentrata in esso equivale alla somma dei momenti dovuti alle striscette verticali in cui possiamo pensare suddiviso il quarto di cerchio. Ragioniamo sull'aree in quanto le masse (nel caso di una piastra omogenea) sono ad esse proporzionali. La striscetta di ampiezza dx e ascissa centrata in x ha area √(1-x2)·dx; il suo contributo al momento è x·√(1-x2)·dx. La somma di questi contributi  ∫ I x(1-x2)1/2dx  con I = [0,1] deve eguagliare xB·AreaQuartoCerchio. ∫ I x(1-x2)1/2dx = -1/3*(1-12)3/2+1/3*(1-02)3/2 = 1/3 1/3 = xB·π/4   xB = 1/3·4/π = 4/(3π) (=0.424…). Più in generale, se R è il raggio del cerchio, il baricentro dista 4R/(3π) da entrambe le rette su cui stanno i raggi che delimitano la figura.

Calcolo dell'integrale con WolframAlpha: