Congettura sperimentalmente l'ordine di infinitesimo rispetto a x di sin(x)-x per x → 0, ossia cerca per quale α è dello stesso ordine di x^α.

Sappiamo che  sin(x) ≈ x per x → 0, ovvero che sin(x) = x + ... (con "..." infintesimo di ordine superiore rispetto a x).
Cerco k·x^α tale che sin(x)-x ≈ k·x^α per x → 0
Studio la velocità con cui sin(x)-x tende a 0. Posso usare una comune calcolatrice, ma conviene usare un programmino; impieghiamo il Basic (ma si può tradurre il programmino in un altro linguaggio):

10 x=1: for i=0 to 5 : y=sin(x)-x : print "x = "; x, "y = "; y : x=x/10 : next
x = 1   y = -0.1585290151921035
x = 0.1   y = -0.0001665833531718508
x = 0.01   y = -1.6666583333574403e-7
x = 0.001   y = -1.6666665833900418e-10
x = 0.0001   y = -1.6666666148319048e-13
x = 0.00001   y = -1.6666728489943966e-16

Posso facilmente congetturare che sin(x)-x tende a 0 come x³. Confronto sin(x)-x con x³:

10 x=1: for i=0 to 5: r=x^3/(sin(x)-x): print "x = "; x,"x^3/(sin(x)-x) = "; r: x=x/10: next
x = 1   x^3/(sin(x)-x) = -6.30799351644374
x = 0.1   x^3/(sin(x)-x) = -6.00300078584911
x = 0.01   x^3/(sin(x)-x) = -6.000030000063216
x = 0.001   x^3/(sin(x)-x) = -6.000000299795865
x = 0.0001   x^3/(sin(x)-x) = -6.00000018660515
x = 0.00001   x^3/(sin(x)-x) = -5.999977743702732

Posso facilmente congetturare che  sin(x)-x ≈ -1/6·x³.

[la cosa può essere dimostrata ad es. mediante il teorema dell'Hopital:
D(sin(x)-x)/D(x^3) = (cos(x)-1)/(3x^2); D(cos(x)-1)/D(3x^2) = -sin(x)/(6x) → -1/6]

Per altri commenti: infiniti e infinitesimi (e propr. delle funz. continue e derivabili) neGli Oggetti Matematici.