Congettura sperimentalmente l'ordine di infinitesimo rispetto a x di sin(x)-x per x → 0, ossia cerca per quale α è dello stesso ordine di x^α.

Sappiamo che  sin(x) ≈ x per x → 0, ovvero che sin(x) = x + o(x).
Cerco k·x^α tale che sin(x)-x ≈ k·x^α per x → 0
Studio la velocità con cui sin(x)-x tende a 0. Posso usare una comune calcolatrice [o ad esempio "calcolatrice2" presente qui mettendo sin(A)-A in (1) e premendo [=] dopo aver messo in A 0.1, poi 0.01, poi ...

  ]

sin(0.1)-0.1 = -0.0001665833531718508
sin(0.01)-0.01 = -1.6666583333574403e-7
sin(0.001)-0.001 = -1.6666665833900418e-10
sin(0.0001)-0.0001 = -1.6666666148319048e-13
Posso facilmente congetturare che sin(x)-x tende a 0 come x³. Confronto sin(x)-x con x³ [metto pow(A,3)/(sin(A)-A)]:
pow(0.1,3) /(sin(0.1)-0.1) = -6.00300078584911
pow(0.01,3) /(sin(0.01)-0.01) = -6.000030000063216
pow(0.001,3) /(sin(0.001)-0.001) = -6.000000299795865
pow(0.0001,3) /(sin(0.0001)-0.0001) = -6.00000018660515
Posso facilmente congetturare che F(x) ≈ -1/6·x³.

[la cosa può essere dimostrata ad es. mediante il teorema dell'Hopital:
D(sin(x)-x)/D(x^3) = (cos(x)-1)/(3x^2); D(cos(x)-1)/D(3x^2) = -sin(x)/(6x) → -1/6]

  Per altri commenti: infiniti e infinitesimi (e propr. delle funz. continue e derivabili) neGli Oggetti Matematici.