Congettura sperimentalmente l'ordine di infinitesimo rispetto a x di e^x-1-x per x → 0, ossia cerca per quale α è dello stesso ordine di x^α.

Sappiamo che e^x-1 ≈ x per x → 0, ovvero che e^x = 1 + x + ... (con "..." infintesimo di ordine superiore rispetto a x).
Cerco k·x^α tale che e^x-1-x ≈ k·x^α per x → 0
Studio la velocità con cui exp(x)-1-x tende a 0. Posso usare una comune calcolatrice, ma conviene usare un programmino; impieghiamo il Basic (ma si può tradurre il programmino in un altro linguaggio):

10 e=2.7182818284590452
20 x=1: for i=0 to 5 : y=e^x-1-x : print "x = "; x, "y = "; y : x=x/10 : next
x = 1   y = 0.7182818284590451
x = 0.1   y = 0.005170918075647707
x = 0.01   y = 0.00005016708416794892
x = 0.001   y = 5.001667083845765e-7
x = 0.0001   y = 5.000166714092739e-9
x = 0.00001   y = 5.0000069648240756e-11

Posso facilmente congetturare che e^x-1-x tende a 0 come x². Confronto e^x-1-x con x²:

10 e=2.7182818284590452
20 x=1: for i=0 to 5: r=x^2/(e^x-1-x): print "x = "; x,"x^2/(e^x-1-x) = "; r: x=x/10: next
x = 1   x^2/(e^x-1-x) = 1.3922111911773332
x = 0.1   x^2/(e^x-1-x) = 1.9338925609931281
x = 0.01   x^2/(e^x-1-x) = 1.993338892593815
x = 0.001   x^2/(e^x-1-x) = 1.999333388721073
x = 0.0001   x^2/(e^x-1-x) = 1.9999333165863173
x = 0.00001   x^2/(e^x-1-x) = 1.9999972140742508

Posso facilmente congetturare che  e^x-1-x ≈ 1/2·x², ovvero che e^x = 1 + x + x²/2 + ... (con "..." infinitesimo di ordine superiore rispetto a x²).

[la cosa può essere dimostrata ad es. mediante il teorema dell'Hopital:
D(exp(x)-1-x)/D(x^2) = (exp(x)-1)/(2x); D(exp(x)-1)/D(2x) = exp(x)/2 → 1/2]

Se con WolframAlpha introduco  exp(x)-1-x  ottengo  x^2/2 + x^3/6 + x^4/24 + x^5/120 + x^6/720 + ... ossia una approssimazione polinomiale ancora migliore.

Per altri commenti: infiniti e infinitesimi (e propr. delle funz. continue e derivabili) neGli Oggetti Matematici.