Congettura sperimentalmente l'ordine di infinitesimo rispetto a x di e^x-1-x per x → 0, ossia cerca per quale α è dello stesso ordine di x^α.

Sappiamo che e^x-1 ≈ x per x → 0, ovvero che e^x = 1 + x + ... (con "..." infintesimo di ordine superiore rispetto a x).
Cerco k·x^α tale che e^x-1-x ≈ k·x^α per x → 0
Studio la velocità con cui exp(x)-1-x tende a 0:
F(x) = exp(x)-1-x
F(0.1) = 0.005170918075647707
F(0.01) = 5.016708416794892E-5
F(0.001) = 5.001667083845765E-7
F(0.0001) = 5.000166714092739E-9
Posso congetturare che F(x) tende a 0 come x^2. Confronto F(x) con x^2:
G(x) = F(x)/x^2
G(0.1) = 0.5170918075647706
G(0.01) = 0.5016708416794892
G(0.001) = 0.5001667083845766
G(0.0001) = 0.5000166714092739
Posso congetturare che F(x) ≈ 1/2·x², ovvero che e^x = 1 + x + x²/2 + ... (con "..." infinitesimo di ordine superiore rispetto a x²).

[la cosa può essere dimostrata ad es. mediante il teorema dell'Hopital:
D(exp(x)-1-x)/D(x^2) = (exp(x)-1)/(2x); D(exp(x)-1)/D(2x) = exp(x)/2 → 1/2]

Se con WolframAlpha introduco  exp(x)-1-x  ottengo  x^2/2 + x^3/6 + x^4/24 + x^5/120 + x^6/720 + ... ossia una approssimazione polinomiale ancora migliore.

  Per altri commenti: infiniti e infinitesimi (e propr. delle funz. continue e derivabili) neGli Oggetti Matematici.