Calcola l'area delle figura rappresentata a fianco, compresa tra la parabola y = x² e la parabola, uguale, ma ruotata di 180°, avente vertice in (-1.5,2). Controlla la risposta con WolframAlpha.
La parabola verde è y = -x² traslata di Δx = -1 e Δy = 2, ossia y = -(x+1)²+2.

Le due parabole si intersecano nei punti che hanno per ascissa le soluzioni di -(x+1)²+2 = x², ossia di 2x²+2x-1=0:
x1 = -1/2-√3/2 = - 1.36…,  x2 = -1/2+√3/2 = 0.36…

Indichiamo con I l'intervallo [x1,x2]; l'area cercata sta tra questi due valori di x e
"sta sotto a y = -(x+1)²+2" ma "non sta sotto a y = x²"

∫_{[-1/2-√3/2,-1/2+√3/2]} -(x+1)²+2 dx - ∫_{[-1/2-√3/2,-1/2+√3/2]} x² dx =
∫_{[-1/2-√3/2,-1/2+√3/2]} 2x²+2x-1 dx =
          [l'antiderivata di 2x²+2x-1 è -2/3 x³ - x²+ x]
(-2/3 x³ - x²+ x)_{x=-1/2+√3/2} - (-2/3 x³ - x²+ x)_{x=-1/2-√3/2} = 1.7320508075688776

Manipolando potrei arrivare direttamente alla soluzione √3 = 1.73…

Potrei fare il calcolo anche con la "calcolatrice" presente QUI:
-2/3*pow(A,3)-pow(A,2)+A per A = -1/2 [+] sqrt(3)/2 → 0.3660254037844386 (risultato messo automaticamente in A)
0.19935873711777197
-2/3*pow(A,3)-pow(A,2)+A per A = -1/2 [-] (sqrt(3)/2) = -1.3660254037844386 (risultato messo automaticamente in A)
0.3660254037844386 - (-1.3660254037844386) → 1.7320508075688776

Con WolframAlpha è tutto molto semplice.  Metto in input:
area between y = x^2 and y = -(x+1)^2+2     e ottengo: