Calcola ∫_[0,1]x(2x−1) dx e ∫_[0,1] | x(2x−1) | dx

• ∫_[0,1]x(2x−1) dx = ∫_[0,1]2x²−x dx
Un'antiderivata (rispetto ad x) di 2x²−x è F: x → 2x³/3−x²/2.
F(1)−F(0) = 2/3−1/2 = 4/6−3/6 = 1/6
• ∫_[0,1] | x(2x−1) | dx. A causa del valore assoluto, l'integranda non è più un polinomio. La spezzo in [0,1/2] e in [1/2,1] in cui è tale:
∫_[0,1/2] | x(2x−1) | dx = ∫_[0,1/2] x(1−2x) dx = ∫_[0,1/2] x−2x² dx
Un'antiderivata è G: x → −F(x). G(1/2)−G(0) = 1/8−1/12.

∫_[1/2,1] | x(2x−1) | dx = ∫_[1/2,1] x(1−2x) dx = F(1)−F(1/2) = 7/12−3/8.
∫_[0,1] | x(2x−1) | dx = 1/8−1/12 + 7/12−3/8 = 1/4.

Con WolframAlpha:

Possiamo anche fare il calcolo diretto usando la definizione, ad es. in Basic (basta cambiare la riga 10 e la riga 500):

10 a = 0 : b = 1 : d = b-a
20 n=4321 : gosub 400 : print "n = "; n ; " integrale = "; I
30 I0=I: n=n*2: gosub 400: print "n = "; n ; "  integrale = "; I; "  variaz.= ";I-I0
40 I0=I: n=n*2: gosub 400: print "n = "; n ; "  integrale = "; I; "  variaz.= ";I-I0
50 I0=I: n=n*2: gosub 400: print "n = "; n ; "  integrale = "; I; "  variaz.= ";I-I0
60 I0=I: n=n*2: gosub 400: print "n = "; n ; "  integrale = "; I; "  variaz.= ";I-I0
70 I0=I: n=n*2: gosub 400: print "n = "; n ; "  integrale = "; I; "  variaz.= ";I-I0
80 I0=I: n=n*2: gosub 400: print "n = "; n ; "  integrale = "; I; "  variaz.= ";I-I0
100 end
400 h=d/n: s=0: for j=1 to n: x=a+(j-1/2)*h: gosub 500: s=s+y: next: I=s*h: return
500 y = x*(2*x-1) : return
n = 4321 integrale = 0.16666665774018707
n = 8642  integrale = 0.16666666443504646  variaz.= 6.694859389089203e-9
n = 17284  integrale = 0.16666666610876132  variaz.= 1.6737148611500885e-9
n = 34568  integrale = 0.16666666652719084  variaz.= 4.1842951326032107e-10
n = 69136  integrale = 0.1666666666317976  variaz.= 1.0460676769241672e-10
n = 138272  integrale = 0.1666666666579498  variaz.= 2.6152191523465262e-11
n = 276544  integrale = 0.16666666666448704  variaz.= 6.537242969173462e-12

...

500 y = abs(x*(2*x-1)) : return
n = 4321 integrale = 0.24999998661028047
n = 8642  integrale = 0.249999999999999  variaz.= 1.3389718528378225e-8
n = 17284  integrale = 0.24999999999999975  variaz.= 7.494005416219807e-16
n = 34568  integrale = 0.24999999999999917  variaz.= -5.828670879282072e-16
n = 69136  integrale = 0.24999999999999906  variaz.= -1.1102230246251565e-16
n = 138272  integrale = 0.25000000000000133  variaz.= 2.275957200481571e-15
n = 276544  integrale = 0.2499999999999987  variaz.= -2.6367796834847468e-15