Calcolare (numericamente) la lunghezza della curva y = x² per x in [0,3].

Devo calcolare ∫_{[0, 3]}√( 1 + f '(x)²) dx con f(x) = x². f '(x) = 2x. Quindi devo calcolare ∫_{[0, 3]}√( 1 + 4x²)

Simbolicamente potrei trovare 3/2·√37 − ln(−6+√37)/4 = 9.747088758608557…

con WolframAlpha avrei battuto:
integrate sqrt(1+4*x^2) dx from 0 to 3
ovvero semplicemente:
curve y=x^2, x=0..3]

Numericamente, con un programmino in Basic:

10 a=0 : b=3 : L1=0
20 input "numero passi: "; n : e = (b-a)/n : L=0
30 for i=1 to n : t1=a+(i-1)*e : t2=a+i*e
40  t=t1 : gosub 100 : x1=x : y1=y : t=t2 : gosub 100 : x2=x : y2=y
50  L = L+sqr((x1-x2)^2+(y1-y2)^2) : next
60 print L;"    variazione = "; L-L1 : L1=L : goto 20
100 x = t : y = t^2 : return
numero passi:  5e5
9.747088758605607    variazione = 9.747088758605607
numero passi:  1e6
9.747088758607866    variazione = 2.2595258997171186e-12
numero passi:  2e6
9.747088758607994    variazione = 1.2789769243681803e-13
numero passi:  4e6
9.747088758608601    variazione = 6.075140390748857e-13

Le variazioni coninciano a non ridursi. Mi fermo e approssimo con 9.747088758609.

Per altri commenti: Altri usi degli integrali neGli Oggetti Matematici.