Calcolare (numericamente) la lunghezza della curva  y = x2 per x in [0,3].

Devo calcolare  ∫ [0, 3] √( 1 + f '(x)2 ) dx  con f(x) = x2.  f '(x) = 2x.  Quindi devo calcolare ∫ [0, 3] √( 1 + 4x2 )

Simbolicamente potrei trovare 3/2·√37 − ln(−6+√37)/4 = 9.747088758608557…

con WolframAlpha avrei battuto:
integrate sqrt(1+4*x^2) dx from 0 to 3
 ovvero semplicemente:
curve y=x^2, x=0..3]

Numericamente:

a=0; b=3
document.write("la lunghezza della curva da t="+a+" a t="+b+"<br>")

function x(t) {return t}
function y(t) {return t*t}
n = 1e5; rip=6
for(k=1; k<=rip; k=k+1) {  n=n*2; e=(b-a)/n; L=0
for(i=1;i<=n; i=i+1) {t1=a+(i-1)*e; t2=a+i*e
  L = L+ Math.sqrt(Math.pow(x(t1)-x(t2),2)+Math.pow(y(t1)-y(t2),2))}
document.write("n = "+n+", L = "+L+"<br>")  }

la lunghezza della curva da t=0 a t=3
n = 200000, L = 9.747088758590184
n = 400000, L = 9.74708875860382
n = 800000, L = 9.747088758607022
n = 1600000, L = 9.747088758608164
n = 3200000, L = 9.747088758608452
n = 6400000, L = 9.747088758608024  ← uscita che comincia a sballare
                                       prendo 9.747088758609

Per altri commenti: Altri usi degli integrali neGli Oggetti Matematici.