La lunghezza, da t=0 a t=2, dell'arco di curva di equazioni parametriche x = t²/2, y = (6t+9)^3/2/9 è:
    A) 10    B) 12    C) 8    D) 14

Facciamo subito i conti con WolframAlpha, e poi ragioniamoci:
arc length of ( t^2/2, (6*t+9)^(3/2)/9 ) from t=0 to 2

La risposta corretta è C e schizzando il grafico della curva, che va da (3,0) a, circa (2,10.7), possiamo approssimare l'arco con un segmento lungo √(8^2+2^2), ossia circa 8 (10 sarebbe decisamente troppo grande). Proviamo a capire come è stata ottenuta la soluzione fornita, assieme alle considerazioni svolte qui.
Posto x = f(t), y = g(t),  f'(t) = t, g'(t) = √(6t+9); l'integrale tra 0 e 2 della radice della somma dei loro quadrati è:
∫ _[0,2] √(t²+6t+9) dt = ∫ _[0,2] √((t+3)²) dt = [poiché t+3>0 per t tra 0 e 2]  ∫ _[0,2] t+3 dt = 2²/2+3·2 = 8

I calcoli con un programmino in Basic:

10 a=0 : b=2 : L1=0
20 input "numero passi: "; n : e = (b-a)/n : L=0
30 for i=1 to n : t1=a+(i-1)*e : t2=a+i*e
40  t=t1 : gosub 100 : x1=x : y1=y : t=t2 : gosub 100 : x2=x : y2=y
50  L = L+sqr((x1-x2)^2+(y1-y2)^2) : next
60 print L;"    variazione = "; L-L1 : L1=L : goto 20
100 x = t*t/2 : y = (6*t+9)^(3/2)/9 : return
numero passi:  1e5
7.999999999994397    variazione = 7.999999999994397
numero passi:  2e5
7.999999999998583    variazione = 4.18598489204669e-12
numero passi:  4e5
7.999999999999671    variazione = 1.0880185641326534e-12
numero passi:  8e5
8.000000000000236    variazione = 5.648814749292796e-13
numero passi:  16e5
7.999999999999946    variazione = -2.9043434324194095e-13

Le variazioni non si riducono più regolarmente. Posso prendere l'arrotondamento 8.0000000000000, ma capisco che la lunghezza deve essere esattamente 8.

Per altri commenti: Altri usi degli integrali neGli Oggetti Matematici.