Per determinare la capacità termica di un solido usando un metodo basato sulle frequenze di vibrazione del cristallo (vedi) si deve calcolare ∫ [0, k] x4·ex/(ex−1)2 dx.  Calcola in modo approssimato (usando del software) il valore di questo integrale quando k = 1.

Prima di fare calcoli mi conviene tracciare il grafico della funzione, prolungandola per continuità in 0 (per x → 0 x4·ex/(ex−1)2 → 0 in quanto ex−1 tende a 0 come x).
Dal grafico capisco che l'area compresa tra l'asse x, il grafico e la retta x = 1 è leggermente inferiore a quella di un triangolo di base 1 e altezza 0.8, ossia a 0.4.
Ora facciamo i calcoli. Usiamo JavaScript: 		   

function F(x) { return  Math.pow(x,4)*Math.exp(x)/Math.pow(Math.exp(x)-1,2) }
a = 0; b = 1
n=4321
for(i = 0; i < 5; i = i+1) {
  s=0; h=(b-a)/n; for (var j=0; j < n; j=j+1) {s = s + F(a+(j+1/2)*h)}
  document.write(n, " rettangoli, integrale su [a,b] di F = ", s*h,"<br>"); n=n*2 }

Ottengo:

4321 rettangoli, integrale su [a,b] di F = 0.31724404146209634
8642 rettangoli, integrale su [a,b] di F = 0.3172440442913445
17284 rettangoli, integrale su [a,b] di F = 0.31724404499865655
34568 rettangoli, integrale su [a,b] di F = 0.31724404517548394
69136 rettangoli, integrale su [a,b] di F = 0.3172440452196912

Posso conludere che ∫ [0, 1] x4·ex/(ex−1)2 dx = 0.3172440452 (valore arrotondato).

Ovvero posso usare WolframAlpha:
integrate x^4*exp(x)/(exp(x)-1)^2 for x from 0 to 1
                           

Il grafico è stato fatto con questo script.