Calcolare      ∫ x² sin(3x) dx   

Procedo per parti. Cerco di abbassare il grado di x² rimpiazzandolo con la derivata; sin(3x) è facile da vedere come derivata:
∫ x² sin(3x) dx = ∫x²D_x(−cos(3x)/3)dx = −x²cos(3x)/3 − ∫2x(−cos(3x)/3)dx = #
abbasso di grado la x (sotto l'integale):  ∫x cos(3x)dx = x sin(3x)/3 − ∫sin(3x)/3
# = −x² cos(3x)/3 + 2/9 x sin(3x) + 2/27 cos(3x) (+c)

Calcolare      ∫ sin(x)² dx

Procedo per parti. Posso manipolare l'integranda pensando sin(x) come derivata:
∫ sin(x)² dx = ∫sin(x) sin(x) dx = ∫D_x(−cos(x)) sin(x) dx = −cos(x) sin(x) − ∫(−cos(x)) D_x(sin(x))dx = −cos(x) sin(x) + ∫1−sin(x)²dx = −cos(x) sin(x) + x − ∫sin(x)²dx
Quindi  2∫ sin(x)² dx = x − cos(x)sin(x)  e infine:
∫ sin(x)² dx = (x − cos(x)sin(x))/2 (+c).