Taglio una torta in 4 parti uguali e te ne dò una. Poi prendo una delle altre 3 fette, la taglio in 4 parti uguali e te ne dò una. Poi prendo una delle altre 3 parti, la taglio in 4 parti uguali e te ne dò una. Procedo così fino a che riesco a suddividere le nuove fette.  Alla fine quanta torta ti ho dato? Perché?

[prova a fare i conti con una calcolatrice: 1/4, poi aggiungi 1/4 di questo valore, aggiungi 1/4 di questo valore, ...]

Se provo a tracciare le varie fette ottengo una figura simile a quella qui a destra.  Capisco che le fette man mano accumulate tendono a formare una fetta pari a 1/3 di torta, briciola più, briciola meno.
Posso confermare questa idea facendo i calcoli con una calcolatrice:

 

I calcoli precedenti erano fatti con la calcolatrice "calcoli", presente qui.  Con "calcolatrice" avrei ottenuto analogamente:

0.333... sappiamo che è il valore di 1/3.  Una traduzione formalizzata delle nostre conclusioni potrebbe essere:
1/4 + 1/4/4 + 1/4/4/4 + … = 1/4 + 1/42 + 1/43 + 1/44 + … = 1/3

Possiamo verificare ciò con WolframAlpha:

Più avanti nel corso degli studi vedrai una dimostrazione di questo fatto.