La sottrazione e l'elevamento a potenza godono delle proprietà associativa e commutativa?  rispetto ad esse esistono elemento neutro ed elementi inversi?

•  Sottrazione ed elevamento a potenza evidentemente non sono commutative:  1–2 ≠ 2–1;  2^1 ≠ 1^2.
•  È vero che,  comunque prenda x, y e z,  x–(y–z) = (x–y)–z ?
No, basta prendere x = y = z = 1 per ottenere un controesempio (1 ≠ –1).
[ricordiamo che  x–y–z  è una abbreviazione per  (x–y)–z]
  È vero che,  comunque prenda x, y e z,  x^(y^z) = (x^y)^z ?
No, basta prendere  x = y = z = 10  per ottenere un controesempio  (10^100 ≠ 100^10 = 10^20).
  Sottrazione ed elevamento a potenza non sono associative.
•  x–0 = x  (e  x–@ = x  solo se  @=0),  ma non è vero che,  per ogni x, 0–x = x  (l'equazione è vera solo per x=0).  Quindi "–" non ha elemento neutro.  Possiamo tuttavia dire che ha 0 come "elemento neutro destro".  Non essendoci elemento neutro non ha senso porsi il problema dell'esistenza di elementi inversi.
•  x^1 = x (e  x^@ = x  solo se  @=1), ma non è vero che, per ogni x, 1^x = x (l'equazione è vera solo per x=1).  Quindi "^" non ha elemento neutro.  Possiamo tuttavia dire che ha 1 come "elemento neutro destro".  Non essendoci elemento neutro non ha senso porsi il problema dell'esistenza di elementi inversi.

Per altri commenti: Struttura dei termini e Strutture numeriche e non neGli Oggetti Matematici.