Un dado (equo) viene lanciato due volte. Qual è la probabilità che il punteggio ottenuto nel secondo lancio sia minore di quello ottenuto nel primo?

U1U2 1 2 3 4 5 6 1 - - - - - - 2 • - - - - - 3 • • - - - - 4 • • • - - - 5 • • • • - - 6 • • • • • -

Possiamo ragionare in più modi. Ad esempio possiamo considerare tutte le possibili uscite della coppia (U1,U2), con U1 uscita del primo lancio e U2 uscita del secondo. Essendo il dado equo, tutte le coppie sono equiprobabili, ciascuna con 1/36 di probabilità. Le coppie in cui U2 < U1 sono 1+2+3+4+5 = 15, come si può osservare sulla tabella a fianco o come si può calcolare direttamente (se U1 è 1 non può essere mai maggiore di U2; se è 2 può esserlo di 1, ossia in 1 caso; se è 3 può esserlo di 1 e 2, ossia in 2 casi; …; se è 6 può esserlo in 5 casi). Quindi la probabilità cercata è 15/36 = 5/12 = (0.41666...%).

Senza fare 1+2+3+4+5 si poteva, osservando la tabella, considerare che le celle OK sono quelle che stanno sotto la "diagonale", che sono tante quelle che le stanno sopra. Le caselle sono in tutto 6*6 = 36, quelle sulla diagonale sono 6, quelle sopra o sotto sono 36-6, quelle sotto sono la metà: (36-6)/2 = 30/2 = 15.

In modo meno calcolistico potevo osservare che i casi sono tre: U₂ < U₁, U₂ > U₁ e U₂ = U₁. I primi due casi, "simmetrici" (scambio "1" con "2", ovvero ">" con "<"), sono evidentemente equiprobabili. Il terzo caso ha probabilità 1/6: uscito un numero, la probabilità che il secondo sia ad esso uguale è 1 su 6. Quindi Pr(U₂ < U₁) = Pr(U₂ > U₁) = (1–1/6)/2 = 5/6/2 = 5/12.

Per altri commenti: calcolo delle probabilità neGli Oggetti Matematici.

Volendo si può controllare facilmente la risposta sperimentalmente con JavaScript, il software incoporato in tutti i browser.  Vedi QUI.  Nel programma viene usato "random()" che assume un valore casuale con distribuzione uniforme tra 0 ed 1;  per avere un numero intero casuale tra 1 e 6 occorre molitplicare per 6, aumentare di 1 e prendere la parte intera:  "floor(random()*6+1)"

with (Math) {
n=1e6; x=0; for(i=0; i<n; i=i+1)
{U1=floor(random()*6+1); U2=floor(random()*6+1); if(U1<U2) {x=x+1} }
document.writeln("n=",n,"  P = ",x/n*100,"%<br>" )

n=n*2; x=0; for(i=0; i<n; i=i+1)
{U1=floor(random()*6+1); U2=floor(random()*6+1); if(U1<U2) {x=x+1} }
document.writeln("n=",n,"  P = ",x/n*100,"%<br>" )

n=n*2; x=0; for(i=0; i<n; i=i+1)
{U1=floor(random()*6+1); U2=floor(random()*6+1); if(U1<U2) {x=x+1} }
document.writeln("n=",n,"  P = ",x/n*100,"%<br>" )

n=n=n*2; x=0; for(i=0; i<n; i=i+1)
{U1=floor(random()*6+1); U2=floor(random()*6+1); if(U1<U2) {x=x+1} }
document.writeln("n=",n,"  P = ",x/n*100,"%<br>" )
}

n=1000000 P = 41.7639%
n=2000000 P = 41.69245%
n=4000000 P = 41.717875%
n=8000000 P = 41.659575%

Ciò conferma il valore 41.666…% trovato teoricamente.