Un problema, per riflettere sui pregiudizi, e sulla difficoltà delle valutazioni probabilistiche.
Una vetrina di un negozio viene infranta e viene prelevata parte della merce esposta. Un testimone afferma che il ladro era arabo. Quando gli inquirenti gli ripropongono scene simili in analoghe condizioni di luce, distanza, … il testimone identifica correttamente l'origine (araba, non araba) del ladro nel 75% dei casi. È attendibile la testimonianza se nella località considerata il 12% dei furti sono opera di ladri di origine araba?  [per rispondere prova a calcolare la probabilità che il ladro sia effettivamente un arabo]

Aiutiamoci con un grafo per illustrare la situazione e fare i calcoli, non facili ma utili per riflettere sulla questione.

Ragioniamo distinguendo i due casi, indicando con OK le identificazioni corrette e con KO quelle sbagliate.

                identif. OK  75% ---- 12%·75%
   ladro         (arabo)    /            9%
   arabo  12% --------------              \
         /      identif. KO \              \
        /       (non arabo)  25% ----       \
       /                                     \
-------                                9%+22% = 31%
       \                                     /
  ladro \       identif. OK  75% ----       /
   non   \      (non arabo) /              /
  arabo   88% --------------              /
                identif. KO \            22%
                 (arabo)     25% ---- 88%·25%

Parte superiore del grafo:  la probabilità che il ladro sia arabo è del 12%, ossia 12/100;  l'identificazione è corretta nel 75% dei casi;  quindi la probabilità che il ladro sia indicato come arabo e sia effettivamente arabo è il 75% del 12%, ossia 75/100·12/100 = 9/100 = 9%

Parte inferiore del grafo:  la probabilità che il ladro non sia arabo è dell'88%;  ma nel 25% dei casi era in realtà un arabo, ossia l'identificazione non era corretta;  quindi la probabilità che il ladro sia indicato come non arabo ma sia arabo è il 25% dell'88%, ossia 25/100·88/100 = 22/100 = 22%.

Quindi la probabilità di essere di fronte a un ladro preso per arabo è  9%+22% = 31%.

Come trovare la probabilità che il ladro, preso per arabo, sia effettivamente un arabo?

Su 100 casi in 31 si tratta di un ladro preso per arabo,  in 9 si tratta di un ladro arabo preso per arabo,  quindi probabilità che il ladro preso per arabo sia effettivamente un arabo è  9/31 = 0. 2903225… = 29.0%
È una probabilità piuttosto bassa!  Chi avrebbe pensato che il problema avesse una soluzione di questo valore?

Si noti l'importanza di rendersi conto di come è facile ingannarsi nel fare valutazioni probabilistiche. È, forse, più importante rendersi conto degli errori a cui si può andare incontro (e a cui vanno spesso incontro televisione, giudici, forze del'ordine, …), e guardare eventualmente un manuale, o chiedere a qualcuno che si sa essere competente, di fronte a situazioni di questo genere, piuttosto che saper affrontare a macchinetta, solo a scuola e per il tempo necessario, quesiti di questo tipo.

Per altri commenti: dipendenza e indipendenza neGli Oggetti Matematici.