Qual è la probabilità che in una classe di 25 alunni (nati in un anno non bistestile) ve ne siano almeno due nati nello stesso giorno?

Sia Gn il giorno di nascita dell'alunno n-esimo nel registro di classe.
- La probabilità che G2 sia diverso da G1 è 364/365 (364 possibilità su 365).
- La probabilità che G3 sia diverso da G1 e da G2 è 363/365 e quella che, inoltre, G2 sia diverso da G1 è (364/365)·(363/365)=364/365·363/365
- …
- La probabilità che G25 sia diverso da G1, G2, … e G24 è 341/365 (365-24 = 341) e quella che tutti i Gn (n=1,…,25) siano diversi tra loro è Q = 364/365·…·341/365 = 43%.
Trovata la probabilità Q che non ci siano due persone nate nello stesso giorno, la probabilità cercata è 1–Q = 57%.

Nel caso la classe fosse di 50 alunni la probabilità, calcolabile in modo analogo, sarebbe del 97%.

Come fare facilmente il calcolo?

Si potrebbe fare il calcolo con una calcolatrice online, come quella "piccolissima" presente qui.

Introducendo   1-364/365*363/365*362/365*361/365*360/365*359/365* 358/365*357/365*356/365*355/365*354/365*353/365* 352/365*351/365*350/365*349/365*348/365*347/365* 346/365*345/365*344/365*343/365*342/365*341/365   ottengo  0.568699704, ovvero  56.9%.

Ma ci vuole molto a battere questo input nella calcolatrice, e nel caso della classe di 50 alunni ci sarebbero da battere molti tasti in più.  Vediamo qualche alternativa.

Il modo più facile è ricorrere ad un programma, in qualunque linguaggio di programmazione. Usiamo il Basic, esegubile online, ma si potrebbe usare un qualunque altro linguaggio:

10 input "N = ", N
20 Q=1 : for i=1 to N-1 : Q=Q*(365-i)/365 : next : print 1-Q
30 goto 10

N =  25
0.568699703969464            56.9%
N =  50
0.9703735795779884           97.0%
N =  100
0.9999996927510721          100.0%

Se la classe fosse di 100 alunni sarebbe praticamente certo che vi siano 2 alunni nati nello stesso giorno.

Vediamo che come redarre il programma in JavaScript, che è incorporato in tutte le applicazioni per navigare in Internet:

n=25; p=1; for(i=1; i<=n-1; i=i+1) {p=p*(365-i)/365}
document.write(1-p)

n=50; p=1; for(i=1; i<=n-1; i=i+1) {p=p*(365-i)/365}
document.write(1-p)

Un altro modo semplice è ricorrere, sempre online, a WolframAlpha (vedi):

Occorre, tuttavia, ricordarsi o capire quali comandi usare, o cercare nell'help o nel sito citato sopra.

Per altri commenti: calcolo delle probabilità neGli Oggetti Matematici.