Calcola la probabilità che da una scatola in cui siano collocati 100 mila bastoncini rossi, 250 mila bastoncini blu e 150 mila bastoncini gialli (tutti di eguali dimensioni e peso) si estraggano (senza reinserimento) 3 bastoncini blu, ovvero un bastoncino per colore, ovvero 2 bastoncini rossi ed 1 giallo.

Il numero dei bastoncini estratti è molto minore del totale dei bastoncini, per cui possiamo valutare le probabilità come se vi fosse il reinserimento dei bastoncini estratti. Posso usare la legge di distribuzione multinomiale. Se operiamo con R possiamo costruire una funzione che la calcola, oppure possiamo usare la funzione predefinita dmultinom:

disMul <- function(n,x,y,z,p1,p2,p3) factorial(n)/(factorial(x)*factorial(y)*factorial(z))*p1^x*p2^y*p3^z
disMul(3,0,3,0,2/10,5/10,3/10)
# 0.125
disMul(3,1,1,1,2/10,5/10,3/10)
# 0.18
disMul(3,2,0,1,2/10,5/10,3/10)
# 0.036
# Erano, ovviamente, tutti calcoli fattibili facilmente a mano; ad es. il primo:
# 6/(1*6*1)*1*1/8*1 = 1/8 = 0.125
#
## Ovvero uso   dmultinom( c(x, y, z, ...), prob=c(p1, p2, p3, ...) )
## dove x, y, z, … sono le uscite degli eventi (in questo caso 3) e p1, p2,
## p3, … sono le probabilità degli eventi o numeri proporzionali ad esse
dmultinom(c(0,3,0), prob=c(2, 5, 3))
# 0.125
#
## Posso esprimere i risultati in forma frazionaria (anche questi i calcoli
## erano fattibili facilmente a mano):
library(MASS)
p <- dmultinom(c(0,3,0), prob=c(2,5,3)); p*100 ;  fractions(p)
#  1.25  1/8
p <- dmultinom(c(1,1,1), prob=c(2,5,3)); p*100 ;  fractions(p)
#  18  9/50
p <- dmultinom(c(2,0,1), prob=c(2,5,3)); p*100 ;  fractions(p)
#  3.6 9/250

Facendo i calcoli considerando direttamente il caso in cui non vi sia reinserimento otteniamo praticamente gli stessi valori:

## 3 blu (1 sola possibilità di colloc.)
p <- 250000/500000*249999/499999*249998/499998; p*100
# 12.49992
## uno per colore (3*2, 3 possib. per il 1º, 2 per il 2º)
p <- 100000/500000*250000/499999*150000/499998*3*2; p*100
# 18.00011
## uno per colore (3*2, 3 possib. per il 1º, 2 per il 2º)
p <- 100000/500000*99999/499999*150000/499998*3; p*100
# 3.599986

Per altri commenti: dipend. e indipendenza e leggi di distribuzione (variabili discrete) neGli Oggetti Matematici.