| A un servizio telefonico di informazioni arrivano molte telefonate. Sotto è raffigurato l'istogramma di distribuzione del tempo t in secondi che passa tra l'arrivo di una telefonata e quello della successiva. | |
| L'area di ogni rettangolino rappresenta la frequenza relativa con cui i tempi cadono nell'intervallo di base; l'area complessiva dell'istogramma è 100% = 1. Come si vede è più probabile che t sia breve piuttosto che lungo. Il contorno superiore dell'istogramma è stato approssimato col grafico della funzione indicata nella figura. (a) Dimostra che l'area che sta tra grafico della funzione e parti non negative degli assi è 1. (b) Usando la funzione approssimante valuta la probabilità che il tempo di arrivo tra una telefonata e la successiva sia compreso tra 15 sec e 45 sec. (c) Valuta la probabilità che esso sia superiore a 35 sec. | |
| Parte (a). Consideriamo prima il caso Per simmetria rispetto all'asse y dei grafici di y=exp(x) e y=exp(-x) ho: ∫[0,k]e–xdx = ∫[-k,0]exdx = [ex]x=0–[ex]x=–k = 1–1/ek [ Ovvero: Sia t=–x. dt/dx=–1; dx=-dt. ∫[0,k]e–xdx = ∫[0,–k]–etdt = –∫[0,–k]etdt = –([et]t=–k–[et]t=0) = [et]t=0–[et]t=–k = 1–1/ek ] Questa è l'area della figura limitata a destra da x=k. Al tendere di k a ∞ 1–1/ek tende a 1: la figura illimitata che si ottiene ha area limitata (uguale a 1). |
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Caso generale.
Se moltiplico h per un certo valore Q l'area che "sta sotto a" x → h·e–v·x viene moltiplicata per Q (la figura scala verticalmente di fattore Q).
Se moltiplico v per un certo valore Q l'area viene invece divisa per Q (la figura scala orizzontalmente di fattore 1/Q). Affinché l'area rimanga 1 occorre che h e v siano uno il reciproco dell'altro.
In altre parole è 1 l'area che sta tra i semiassi positivi e il grafico di x → 1/v·e–v·x.
| Parte (b) Come probabilità che il tempo in secondi che intercorre tra due telefonate sia compreso tra 15 e 45 assumiamo la frequenza con cui il tempo cade in questo intervallo, ossia l'area dell'istogramma compresa tra questi due valori, che approssimiamo con: ∫I 0.1 e–0.1x dx, I = [15,45]. |  |
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∫[15,45]0.1 e–0.1xdx = [t=–0.1x, dt/dx=–0.1, dx=-10dt] –∫[-1.5,-4.5]etdt = –([et]t=-4.5–[et]t=-1.5) = e-1.5–e-4.5 = [con la calcolatrice] 0.212 = 21.2% | |
| (controllo con una stima grafica: l'area è circa quella di un triangolo di base 20 e altezza 0.02: 0.02*20/2 = 0.2. OK) |  |
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(c) Pr(t > 35) = 1 − Pr( NOT t > 35)
= 1 − Pr(t ≤ 35) = 1 − ∫[0,35] 0.1 e–0.1x dx
= 1 − | |
I calcoli con WolframAlpha:
O con un programmino per calcolare gli integrali in Basic:
Prima provo tra 35 e un valore grande, ad es. 1000, poi vedo che cosa accade oltre.
10 a = 35 : b = 1000 : d = b-a 20 n=4321 : gosub 400 : print "n = "; n ; " integrale = "; I 30 I0=I: n=n*2: gosub 400: print "n = "; n ; " integrale = "; I; " variaz.= ";I-I0 40 I0=I: n=n*2: gosub 400: print "n = "; n ; " integrale = "; I; " variaz.= ";I-I0 50 I0=I: n=n*2: gosub 400: print "n = "; n ; " integrale = "; I; " variaz.= ";I-I0 60 I0=I: n=n*2: gosub 400: print "n = "; n ; " integrale = "; I; " variaz.= ";I-I0 70 I0=I: n=n*2: gosub 400: print "n = "; n ; " integrale = "; I; " variaz.= ";I-I0 80 I0=I: n=n*2: gosub 400: print "n = "; n ; " integrale = "; I; " variaz.= ";I-I0 150 end 400 h=d/n: s=0: for j=1 to n: x=a+(j-1/2)*h: gosub 500: s=s+y: next: I=s*h: return 500 y = 0.1*(2.7182818284590452^(-0.1*x)) : return n = 4321 integrale = 0.030196755887470093 n = 8642 integrale = 0.030197226536894474 variaz.= 4.706494243812698e-7 ... n = 138272 integrale = 0.03019738280947901 variaz.= 1.838506017565189e-9 n = 276544 integrale = 0.03019738326910378 variaz.= 4.5962476880045955e-10
Poi ad esempio tra 1000 e 2000:
10 a = 1000 : b = 2000 : d = b-a 20 n=4321 : gosub 400 : print "n = "; n ; " integrale = "; I ... n = 4321 integrale = 3.7199929593618476e-44 ... n = 276544 integrale = 3.720075955752313e-44 variaz.= 6.080389094593642e-52
Oltre i 1000 i valori sono trascurabili. L'integrale è circa 0.03019738326910378 + 1.8e-10,
ossia 0.030197384 (il valore con più cifre esatte sarebbe 0.0301973834223185007...).