Luca fa un sentiero di montagna lungo  L km   in salita alla velocità di  2 km/h.  Il ritorno, in discesa, con passo veloce, fa lo stesso sentiero alla velocità di  6 km/h.  Quale è stata la velocità media sull'intero pecorso?

Suggerimenti.  Non è un problema facile.  Fate la media tra le due velocità?  È questa la velocità media?  Se fate il rapporto tra spazio totale percorso e tempo totale impiegato ottenete lo stesso valore?  Tenete conto che il tempo impiegato  t  andando ad una velocità  v  e percorrendo uno spazio  S  lo trovate da  v = S/t  ottenendo  v·t = S,  da cui  t = S/v.

La media delle due velocità è  (2+6)/2 = 8/2 = 4 (km/h).  Procediamo nell'altro modo.

Calcoliamo la velocità media come  S/t (spazio percorso diviso per tempo impiegato).  Il tempo t1 (in ore) all'andata è stato  t1 = L/2;  il tempo t2 (in ore) al ritorno è stato  t2 = L/6;  lo spazio totale percorso è stato L+L = 2L (chilometri);  quindi la veloictà media è stata  2L/(t1+t2) = 2L/(L/2+L/6) = 2/(1/2+1/6) = 2/(3/6+1/6) = 2·6/(3+1) = 12/4 = 3 (km/h).

È questa la risposta corretta!

È un problema non facile, da proporre all'intera classe, eventulamente organizzata in gruppi di lavoro.  L'esercizio è utile per far riflettere gli alunni sul fatto che la velocità media non si ottiene facendo la media aritmetica di più velocità ma come rapporto tra strada percorsa e tempo impiegato.

Nelle scuole superiori si vedrà che la media di più velocità si ottiene con la media armonica.  Vedi qui.