Figure 1

  Abbiamo richiamato dalla scuola di base i principali concetti geometrici nella voce prime figure e nei relativi esercizi, oltre che negli esercizi relativi a varie altre voci (e in particolare nelle voci "proporzionalità", "diagrammi", "lo spazio", "distanza").
    Qui incominciamo ad approfondire il concetto di figura geometrica..
    Con figura intendiamo un insieme di punti in un dato spazio. Ad esempio nello spazio "retta numerica" presi due punti-numeri a e b, possiamo considerare il segmento costituito dai punti x tali che a ≤ x ≤ b (si veda la figura sotto a sinistra).
    Possiamo rendere compatta la descrizione di molte figure abbreviando "l'insieme degli α tali che sia vera la condizione Γ" con:
         { α t.c. Γ }  o  { α : Γ }  o  { α / Γ }  o  { α | Γ }

    Ecco tre semplici esempi di figure riferiti agli spazi numerici a 1, 2 e 3 dimensioni:

{x : a ≤ x ≤ b}	{(x,y) : a ≤ x ≤ b AND c ≤ y ≤ d}
{(x,y,z) : a ≤ x ≤ b AND c ≤ y ≤ d AND e ≤ z ≤ f}

    Qualche altro esempio riferito al caso bidimensionale (qui d è la distanza euclidea): 

{(x,y) : x2+y2 ≤ 1/2} ossia: {P : d(P,O) ≤ √(1/2)}	{(x,y) : x2+y2 ≤ 2} ossia: {P : d(P,O) ≤ √2}	{(x,y) : 1 ≤ x2+y2} ossia: {P : 1 ≤ d(P,O)}	{(x,y) : 1 ≤ x2+y2 ≤ 2} intersezione tra B e C	{(x,y) : 1 ≤ x2+y2 ≤ 2 OR x2+y2 ≤ 1/2} unione di A e D

Nota. A volte si sottointende {(…) : …} e si scrive semplicemente la condizione. Ad esempio per indicare la retta del piano costituita dai punti di ascissa 1 invece di {(x,y) : x=1} si scrive "la retta x=1" o "la retta di equazione x=1".

  Soffermiamoci sul caso bidimensionale, cioè sul piano cartesiano [].
    La figura al centro nell'illustrazione iniziale è un rettangolo; facendo variare a, b, c e d otteniamo tutti i rettangoli con lati paralleli agli assi.
    Per dare una definizione puramente matematica che comprenda anche i rettangoli con lati non paralleli agli assi, che si possono ottenere da figure come questa mediante una rotazione, occorre disporre prima di una definizione matematica del concetto di rotazione o del concetto di perpendicolarità ( figure2).

    Nell'ambito della geometria piana euclidea, cioè dello studio delle figure del piano cartesiano dotato della distanza euclidea, la figura a sinistra è il cerchio di centro (0,0) e raggio 10.
    La figura a destra è un quadrato. Per dare una definizione generale di quadrato occorre far riferimento ad ulteriori concetti (vedi quanto osservato sopra a proposito dei rettangoli). Qui ci limitiamo a osservare che le distanze da un vertice al successivo, ad esempio dal punto (0,10) al punto (10,0), sono tutte uguali a √(10²+10²) = √200 e che le diagonali, cioè le distanze da un vertice al vertice opposto, sono tutte uguali a 20.

Nota.  La figura soprastante a destra (nella geometria euclidea) è un quadrato.  È anche un rombo, come ogni quadrato, ma, appunto, non è solo un rombo:  un quadrato non ha necessariamente i lati orizzonali e verticali.

  Se non avessimo scelto un sistema monometrico [ pendenza] avremmo potuto ottenere le rappresentazioni seguenti.

L'aspetto non è più quello di un "cerchio" o di un "quadrato": se misuriamo "fisicamente" le distanze con un righello, i punti della figura a sinistra non hanno la stessa distanza dal punto (0,0) e le due diagonali della seconda figura non hanno la stessa lunghezza.

    Ma dal punto di vista "matematico", riferendosi al piano cartesiano e alla distanza euclidea, siamo solo di fronte a una diversa rappresentazione concreta delle stesse figure. Quindi, ad esempio, la figura disegnata a sinistra è un "cerchio".
    Abbiamo già fatto una analoga distinzione tra la pendenza "stradale" e quella "dei grafici".

Altri esercizi per la scuola di base