Verifica sperimentalmente che
•  per x → 0   sin(x) - x  ≈  -x³/6
•  per x → ∞   (1+1/x)^x2 → ∞

•  Verifichiamo la prima relazione con un programmino in Basic, ma si potrebbe usare un qualunque altro linguaggio di programmazione.  Calcoliamo il rapporto tra x-sin(x) e x³/6 per x = 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...

10 x=1: FOR i=1 TO 12: x=x/2: GOSUB 100 :PRINT "x = ";x, "f(x) = "; y : NEXT: END
100 y = (x-sin(x))/(x^3/6) : RETURN
x = 0.5   f(x) = 0.9875741469982557
x = 0.25   f(x) = 0.9968796462631921
x = 0.125   f(x) = 0.9992190405805275
x = 0.0625   f(x) = 0.9998047056641894
x = 0.03125   f(x) = 0.9999511730100039
x = 0.015625   f(x) = 0.9999877930395087
x = 0.0078125   f(x) = 0.9999969482414599
x = 0.00390625   f(x) = 0.9999992370576365
x = 0.001953125   f(x) = 0.9999998092534952
x = 0.0009765625   f(x) = 0.999999952269718
x = 0.00048828125   f(x) = 0.9999999878928065
x = 0.000244140625   f(x) = 0.9999999962747097

Appare evidente che il rapporto tende ad 1, ovvero che  sin(x) - x  ≈  -x³/6

Vediamo anche l'uso di un programmino in JavaScript.

with (Math) {

function F(x)
  {return (x-sin(x))/(pow(x,3)/6) }
x=1; for(i=0;i<12;i=i+1) {x=x/2; document.write(F(x),"<br>") }

}

0.9875741469982557
0.9968796462631921
0.9992190405805275
0.9998047056641894
0.9999511730100039
0.9999877930395087
0.9999969482414599
0.9999992370576365
0.9999998092534952
0.999999952269718
0.9999999878928065
0.9999999962747097

•  Verifichiamo la seconda relazione con un programmino in Basic.

10 x=1: FOR i=1 TO 10: x=x*2: GOSUB 100 :PRINT "x = ";x, "f(x) = "; y : NEXT: END
100 y = (1+1/x)^(x^2) : RETURN
x = 2   f(x) = 5.0625
x = 4   f(x) = 35.52713678800501
x = 8   f(x) = 1878.2847681553924
x = 16   f(x) = 5498045.288861883
x = 32   f(x) = 48383428020804.36
x = 64   f(x) = 3.801328232297646e+27
x = 128   f(x) = 2.3641271592255927e+55
x = 256   f(x) = 9.179181607727225e+110
x = 512   f(x) = 1.3864679149979051e+222
x = 1024   f(x) = Infinity

Appare evidente che il limite è ∞

Vediamo anche l'impiego di JavaScript.  (1+1/x)^x2 lo scrivo come pow(1+1/x,pow(x,2))

with (Math) {

function F(x)
  {return pow(1+1/x,pow(x,2)) }
x=1; for(i=0;i<10;i=i+1) {x=x*2; document.write(F(x),"<br>") }

}

5.0625
35.52713678800501
1878.2847681553924
5498045.288861883
48383428020804.36
3.801328232297646e+27
2.3641271592255927e+55
9.179181607727225e+110
1.3864679149979051e+222
Infinity

 
Per altri commenti: infiniti e infinitesimi neGli Oggetti Matematici.