La lunghezza del grafico di una funzione F continua in un intervallo [a,b] può essere calcolata approssimandola con la lunghezza di una spezzata i cui vertici stanno sul grafico della funzione e le cui ascisse sono ottenute dividendo l'intervallo [a,b] in N segmenti uguali, e facendo aumentare via via il numero N.  Consideriamo ad esempio il caso raffigurato a fianco (in cui è considerato il caso N=4), ottenendo per N = 2, 4, 8:     8.94427190999916,     13.026466151931759,     13.291156405311183. Possiamo automatizzare il procedimento con un programma.  Vedi qui come lo si può fare facilmente con un programma di Basic.  Si vede come si può ottenere l'approssimazione 13.501661653555.

Si poteva anche usare un programma in JavaScript:

a=-2; b=2
document.write("la lunghezza della curva tra t="+a+" e t="+b+"<br>")
function x(t) {return t}
function y(t) {return t*t*t-2*t}
n = 1e5; rip=5
for(k=1; k<=rip; k=k+1) {  n=n*2; e=(b-a)/n; L=0
for(i=1;i<=n; i=i+1) {t1=a+(i-1)*e; t2=a+i*e
  L = L+ Math.sqrt(Math.pow(x(t1)-x(t2),2)+Math.pow(y(t1)-y(t2),2))}
document.write("n = "+n+", L = "+L+"<br>")  }

  la lunghezza della curva tra t=-2 e t=2
  n = 200000, L = 13.501661653242772
  n = 400000, L = 13.501661653477255
  n = 800000, L = 13.50166165353527
  n = 1600000, L = 13.50166165355005
  n = 3200000, L = 13.501661653554594

Lo stesso procedimento si può usare per calcolare la lunghezza di altre curve che non siano il grafico di una funzione.  Queste curve vengono discusse nella successiva voce "rette tangenti e curve".  Vediamo comunque, come esempio, come può essere calcolata la lunghezza del cerchio di raggio 1 (ovvero la sua "circonferenza").
Il cerchio può essere descritto come l'insieme dei punti (cos(t), sin(t)) al variare di t tra 0 e 2·π.

     

10 a=0 : b=6.2831853071795865 : L1=0
20 input "numero passi: "; n : e = (b-a)/n : L=0
30 for i=1 to n : t1=a+(i-1)*e : t2=a+i*e
40  t=t1 : gosub 100 : x1=x : y1=y : t=t2 : gosub 100 : x2=x : y2=y
50  L = L+sqr((x1-x2)^2+(y1-y2)^2) : next
60 print L;"   variazione = "; L-L1 : L1=L : goto 20
100 x = cos(t) : y = sin(t) : return

numero passi:  50000
6.283185303048737   variazione = 6.283185303048737
numero passi:  100000
6.283185306137423   variazione = 3.08868663978501e-9
numero passi:  200000
6.283185306941226   variazione = 8.03802358007033e-10
numero passi:  400000
6.283185307152901   variazione = 2.1167512187503235e-10
numero passi:  800000
6.28318530717704   variazione = 2.4138913090610004e-11

Si capisce immediatamente che la lunghezza è 2·π. Vediamo il caso dell'ellisse ottenuta "schiacciando" il cerchio fino a dimezzarne l'altezza.  A destra il grafico ottenuto con WolframAlpha col comando x=cos(t), y=sin(t)/2, 0<=t<=2*PI.

10 a=0 : b=6.2831853071795865 : L1=0
20 input "numero passi: "; n : e = (b-a)/n : L=0
30 for i=1 to n : t1=a+(i-1)*e : t2=a+i*e
40  t=t1 : gosub 100 : x1=x : y1=y : t=t2 : gosub 100 : x2=x : y2=y
50  L = L+sqr((x1-x2)^2+(y1-y2)^2) : next
60 print L;"   variazione = "; L-L1 : L1=L : goto 20
100 x = cos(t) : y = sin(t)/2 : return

numero passi:  50000
4.844224107086487   variazione = 4.844224107086487
numero passi:  100000
4.844224109477036   variazione = 2.3905490920128614e-9
numero passi:  200000
4.844224110074603   variazione = 5.97567328952664e-10
numero passi:  400000
4.844224110224089   variazione = 1.4948575710604928e-10
numero passi:  800000
4.844224110261339   variazione = 3.725020292222325e-11
numero passi:  1600000
4.844224110270881   variazione = 9.541700762838445e-12
numero passi:  3200000
4.844224110273277   variazione = 2.396305376350938e-12
numero passi:  6400000
4.844224110273782   variazione = 5.044853423896711e-13
numero passi:  12800000
4.844224110274099   variazione = 3.170796958329447e-13