Esercizio a pag. 253

Prima ricordiamo una proprietà:

Un angolo inscritto in un cerchio [come ∠WVU] è pari a metà dell'ampiezza dell'angolo al centro che intercetta lo stesso arco [∠WOU]
∠WVU  =  ∠WOU / 2

Questo vale non solo nel caso della figura di sopra a sinistra ma anche nel caso della figura a destra.
Ora veniamo all'esercizio.

Quanto è ampio l'angolo ∠BCA considerato nella figura (1) sapendo che ∠AOB è ampio 130°?

La situazione è simile a quella illustrata nella figura iniziale a destra. Come ∠WVU = ∠WOU/2 così ∠BCA = ∠BOA/2.  Sappiamo che - vedi la figura (2) - ∠BOA = 360°-130° = 230°.  Quindi ∠BCA = ∠BOA/2 = 230°/2 = 115°

Esercizio a pag. 256

È un esercizio che usa un teorema che è studiato (in genere senza dimostrazione) nelle scuole americane e inglesi ma che è considerato raramente in italia. Il teorema si chiama teorema dell'angolo tra tangente e corda  o  teorema del segmento alterno.  Esercizi che fanno riferimento ad esso difficilmente capitano in Italia.  Ricordiamo che cosa dice questo teorema:

Se prendo un punto di un cerchio e traccio la tangente che passa per esso e
una corda che parte da esso, e poi considero un qualunque triangolo inscritto
nel cerchio che ha tale corda come lato, l'angolo x tra corda e tangente è
uguale all'angolo opposto alla corda.

Nella figura a destra oltre a questo caso (angoli arancioni) è considerato
anche quello, analogo, in cui gli angoli considerati sono indicati con o
(angoli celesti).
Volendo, una dimostrazione
  

A questo punto la soluzione del problema è spiegata da questo disegno:

Esercizio a pag. 259

Anche questo esercizio fa riferimento al teorema dell'angolo tra tangente e corda (teorema del segmento alterno). Cose del genere in Italia non possono capitare. Comunque può essere utile vedere come si risolve il problema.

AC è tangente alla circonferenza di centro O.  La tangente tocca la circonferenza nel punto B.  L'angolo DBC misura 58° (vedi la figura a sinistra).
Qual è l'ampiezza dell'angolo BOD?

Per usare il teorema del segmento alterno traccio un qualunque punto E sul cerchio. Poi traccio il triangolo BDE.
Per il teorema del segmento alterno, ∠E misura 58°, come ∠DBC.
L'angolo ∠BOD è l'angolo al centro corrispondente all'angolo alla circonferenza ∠E, quindi misura il doppio di esso:  ∠BOD = 2·∠E = 2·58° = 116°.