Il triangolo ACE è: rettangolo in A. Il segmento AC è quattro volte più lungo del segmento AB e l'altezza del triangolo BCD relativa alla base BC è lunga la metà del segmento AE. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?

a. L'area del triangolo EBD è diversa dall'area del triangolo BCD
b. L'area del triangolo EBD è minore dell'area del triangolo BCD
c. L'area del triangolo EBD è maggiore dell'area del triangolo BCD
d. L'area del triangolo EBD è uguale all'area del triangolo BCD

Facendo riferimento alla figura sottostante:
area(BCD)=8*3/2=12, area(ABE)=6*2/2=6, area(ACE)=10*6/2=30, area(EBD)=30-6-12=12
In generale:
area(BCD)=BC*AF/2=(4*AB)*(AE/2)/2=AB*AE, area(ABE)=AB*AE/2, area(ACE)=AC*AE/2=5*AB*AE/2, area(EBD)=area(ACE)-area(ABE)-area(BCD)=5*AB*AE/2-AB*AE/2-AB*AE=(5-1-2)*AB*AE/2=AB*AE
Risposta d: l'area del triangolo EBD è uguale all'area del triangolo BCD (risposta d)

Posso arrivare alla risposta in un modo più semplice e più ingegnoso, senza buttarmi nei calcoli: guardo la figura girando il foglio e osservo che sono di fronte a due triangoli con stessa base e stessa altezza. Ma nei tempi e nell'ansia del test non è facile procedere così.

Si indichino con ∠A, ∠B, ∠C gli angoli di vertici A, B, C e con α, β, γ le ampiezze in radianti di tali angoli. Sapendo che ∠B è retto che AB = AC/2, quale tra le seguenti affermazioni è corretta?
"traduzione": α, β, γ sono le ampiezze degli angoli (o sono gli angoli)

a. β = π/3 e cos(β) = 0
b. α = π/3 e cos(α) = √3/2
c. α = π/6 e sin(γ) = 1/2
d. γ = π/6 e sin(α) = √3/2

Nel nostro caso β = 90° = π/2. Escludo a.
ADC è un triangolo equilatero. L'angolo α è ampio 180°/3 = π/3. Escludo c.
L'angolo γ è metà di α, ossia π/6 (cioè 30°).
Dobbiamo scegliere tra b e d. Quale è vera tra cos(α) = √3/2 e sin(α) = √3/2?
cos(α) = √3/2 e sin(α) = 1/2: devo scegliere b.

Ricordiamo (ma non serviva per risolvere il quesito) come sono fatti i grafici delle funzioni cos e sin:

Un esercizio più stupido (come test di ingresso) degli altri:

Il numero e^{log_√2(2π√3)} è uguale a

a. e²·e^{log_√2(π+√3)}
b. e²·e^{log_√2(π·√3)}
c. e²·e^{log_√2(π·√2)}
d. e²·e^{log_√3(π·√2)}

Prima di affrontare il quesito vediamo come scriverli in WolframAlpha. Richiamiamo prima il significato di log:
il grafico di y = log₂(x) e quello della sua funzione inversa, y = 2^x

Ricordiamo che a^b+c = a^b·a^c e che quindi log_a(u·v) = log_a(u)+log_a(v) (#)

Come si scrive in WolframAlpha il numero presente nel quesito? e^( log(sqr(2), 2*PI*sqr(3) ) )

Vediamo anche la risposta b:

Controlliamo se questa risposta è corretta.

Dunque b è la risposta OK. Ma come affrontare questo quesito?
Non serve capire il significato delle formule: dentro a log il √3 non può magicamente trasformarsi in √2 (quindi escludo c e d) e il "·" non può diventare un "+" (quindi escludo a).

Come si poteva risolvere (se non ci si agita nel poco tempo a disposizione) usando (#):
log(a · b) = log(a) + log(b) quindi e^{log_√2(2π√3)} = e^{log_√22 + log_√2(π√3)} = e^{2 + log_√2(π√3)} = e² · e^{log_√2(π√3)}

Si consideri il sistema lineare x + √5 y = -1 AND √3 x - 2y = 0 (nel quiz invece dell'AND si usa una parentesi graffa).
Quale tra le seguenti coppie di valori è la soluzione?

a. x = 2/(2+√15), y = √3/(2+√15)
b. x = -2/(2+√15), y = -√3/(2-√15)
c. x = -2/(1+√15), y = √3/(2+√15)
d. x = -2/(2+√15), y = -√3/(2+√15)

Si può ragionare per controllare le soluzioni, ma è più semplice risolvere il sistema. Si può fare in vari modi. Vediamone uno (ricavo la x da una equazione e sostituisco nell'altra in modo da avere una equazione in cui compare solo la variabile y):

x + √5 y = -1
√3 x - 2y = 0    x = -√5 y - 1
√3 x - 2y = 0    x = -√5 y - 1
√3 (-√5 y - 1) - 2y = 0    x = -√5 y - 1
(-√3√5-2)y = √3    x = -√5 y - 1
y = -√3/(√15+2)
Mi basta questo per concludere che la risposta OK è d.